Asal sayılar, bir çok hipoteze, hikayeye, ekstra meraka vesile olan, bununla birlikte matematik ile arası pek iyi olmayanların pek de sevmediği, aslında gayet de sevimli olan sayılardır 🙂
Asal sayılar, sadece 1 ve kendisine bölünebilen 1’den büyük tam sayılara denir. Başka bir deyişle, sadece iki pozitif tam sayı böleni olan doğal sayılara da asal sayılar diyebiliriz. Asal sayıların 1 ve kendisinden başka pozitif böleni yoktur.
Örneğin;
- 3 sayısının pozitif çarpanları 1 ve 3’tür. 1×3=3 eder. Yani 3 sayısı, yalnızca 1’e ve kendisi olan 3’e tam bölünür. Bu sebepten dolayı 3 asal sayıdır.
- 4 sayısının pozitif çarpanları ise 1,2 ve 4’tür. 1×4=2×2=4 eder. Yani 4 sayısı yalnızca 1 ve kendisine bölünmez. 2’ye de bölünür. Bu yüzden asal sayı değildir.
Asal sayıların sayısının sonsuz olduğu kabul edilir. Bu yazının kaleme alındığı gün, bu zamana kadar bulunan en büyük basamaklı asal sayı ABD’li matematikçi Curtis Cooper tarafından bulunmuştur. Bu asal sayı 22 milyon 338 bin 618 basamaktan oluşmaktadır. Bundan önceki bulunan en büyük asal sayı 17 milyon 425 bin 170 basamaklı idi ve 3 yıl önce bulunmuştu. Yeni bulunan en büyük basamaklı asal sayıyı kağıda dökmeye kalkarsanız 109 kilometre uzunluğunda olmakta 🙂
Asal sayılar hakkında bir çok hipotez vardır. Halen günümüzde asal sayılar hakkında pek çok bilinmeyen de mevcuttur.
1 Sayısı Asal Mıdır ?
Asal sayılarla ilgili geçmişte tartışmalara da yol açan bu soru, günümüzde 1’in asal bir sayı olmadığı yönünde kabul edilmiştir. Geçmişte 1 sayısını asal sayı olarak kabul eden önde gelen matematikçiler de mevcuttur. Hatta halen 1’in asal olarak kabul edildiği bazı birçok çalışma da vardır. Henri Lebesgue, 1 sayısını asal sayı olarak kabul eden son matematikçi olarak bilinmektedir.
1 Neden Asal Sayı Değildir ?
Asal sayıların tanımını yaparken ‘yalnızca 1 ve kendisine bölünen pozitif tam sayılar’ demiştik. Yani asal sayıların 2 böleni olmalıdır. 1 sayısı 1×1 olduğu için 1 tane böleni vardır. Bu yüzden 1 sayısı asal sayı değildir.
En Küçük Asal Sayı Kaçtır ?
Asal sayılar kümesi 2’den başlar. Yani 2, en küçük asal sayıdır. 2=1×2 Yani 2 sayısı yalnızca 1’e ve kendisine bölünür. Bununla birlikte 2 sayısı asal sayılar kümesinin tek çift sayısıdır. Yani 2’den başka çift asal sayı yoktur.
İkiz Asallık Nedir ?
İkiz asallar, aralarında 2 fark bulunan asal sayılardır. Sonsuz sayıda ikiz asal sayı olup olmadığı günümüzde halen ispat edilememiştir.
Örneğin;
- (3,5) 5-3= 2
- (5,7) 7-5= 2
- (41, 43) 43-41= 2
İlk 35 ikiz asal çifti şöyledir:
(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)
Goldbach Hipotezi Nedir ?
Doğruluğu henüz kanıtlanmamış olsa da görünürde doğru olan asal sayılarla ilgili hipotezdir. Goldbach hipotezi, her çift sayının iki asal sayının toplamından oluştuğunu söyler.
Örneğin;
- 2+2 = 4
- 3+3 = 6
- 3+5 = 8
- 5+5 = 10
- 5+7= 12
- 3+11 = 14
- 3+13 = 16
- 5+13 = 18
Mersenne Sayıları
a asal bir sayı olmak üzere (2a –1) şeklinde yazılan sayılara Mersenne Sayıları denir.
Örneğin;
- a= 2 olmak üzere, 22 – 1 = 3
- a= 7 olmak üzere, 27 – 1 = 127
Aralarında Asal Sayılar
1’den başka aralarında pozitif ortak böleni olmayan sayma sayılarına ‘aralarında asal sayılar’ denir.
Örneğin;
- 4 ve 25 aralarında asaldır. 4’in pozitif bölenleri 1,2 ve 4’tür. 25’in pozitif bölenleri 1,5 ve 25’tir. Bu iki sayının 1’den başka ortak pozitif böleni olmadığı için bu iki sayı aralarında asaldır.
- 6 ve 35 aralarında asaldır. 6’nın pozitif bölenleri 1,2,3 ve 6’dır. 35’in pozitif bölenleri 1,5,7 ve 35’tir. Bu iki sayının 1’den başka ortak pozitif böleni olmadığı için bu iki sayı aralarında asaldır.
Eratosthenes Kalburu
Yunan matematikçi Eratosthenes tarafından asal sayıları bulmak için kullanılan basit ve eğlenceli bir yöntemdir. İlköğretim ve lise düzeyinde ve özellikle de sınavlarda bir sayının asal bir sayı olup olmadığı konusunda tereddüt yaşanırsa hızlı bir şekilde bu method ile sayı kontrol edilebilinir.
1’den 50’ye Kadar Olan Asal Sayılar
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47 (Toplam 15 tane)
1’den 100’e Kadar Olan Asal Sayılar
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 (Toplam 25 tane)
1’den 200’e Kadar Olan Asal Sayılar
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199 (Toplam 46 tane)
1’den 500’e Kadar Olan Asal Sayılar
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499 (Toplam 95 tane)
1’den 1000’e Kadar Olan Asal Sayılar
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107,109,113,127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199,211,223,227,229,233,239,241,251,257,263,269,271,277,281,283,293,307,311,313,317,331,337,347,349,353,359,367,373,379,383,389,397,401,409,419,421,431,433,439,443,449,457,461,463,467,479,487,491,499,503,509,521,523,541,547,557,563,569,571,577,587,593,599,601,607,613,617,619,631,641,643,647,653,659,661,673,677,683,691,701,709,719,727,733,739,743,751,757,761,769,773,787,797,809,811,821,823,827,829,839,853,857,859,863,877,881,883,887,907,911,919,929,937,941,947,953,967,971,977,983,991,997 (Toplam 168 tane)
